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π在每个宇宙的值是否相同

2023-03-23 17:26 来源:IT之家   阅读量:19013   

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圆周率 π 是一个无理数,它的小数部分无限不循环,也就是说,它不能用两个整数的比来表示。我们常用 3.14 或 22/7 来近似表示 π,但这些都只是近似值,而非精确值。那么,在其他的宇宙中,π 是否也有这样的值呢?如果某个宇宙里,π 不是 3.14…,那么这个宇宙跟我们现在的宇宙有哪些不同呢?

要回答这个问题,我们首先要明确什么是圆周率。圆周率的定义是一个圆的周长与直径之比。也就是说,在一个平直的空间中,任何一个圆都满足 C=2πr。这个定义看起来很简单,但其实隐藏了一个重要的假设:空间是欧几里得空间。

欧几里得空间是指满足欧几里得公理系统的空间。欧几里得公理系统包括五条基本公理和一些推论定理。其中最重要的一条公理就是平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与之平行。

欧几里得空间可以看作我们日常生活中所处的空间模型。在欧几里得空间中,三角形内角和为 180 度、正方形对角线相等、圆内接四边形对角和为 180 度等等都成立。而圆周率也恰好符合我们对圆形性质的预期:无论圆多大多小、放在哪里、怎么旋转或变换位置,其周长与直径之比都保持恒定。

但是,并非所有可能存在的空间都是欧几里得空间。事实上,在 19 世纪以前,人们曾经认为只有欧几里得空间才能符合逻辑和自然法则。但随着数学和物理学的发展,人们逐渐发现了非欧几里得空间。

非欧几里得空间指不满足欧几里得公理系统中某些公理的空间。例如,在球面上画图形时就会发现很多奇怪现象:三角形内角和大于 180 度、最短路径不再沿着直线走等等。

那么,在非欧几里得空间中,圆周率还会保持恒定吗?答案是否定的。在非欧几里得空间中,圆周率不再是一个恒定的常数,而是一个变量,它取决于圆的大小和位置。为什么会这样呢?原因在于,在非欧几里得空间中,空间本身是弯曲的。这意味着,在不同的地方,距离、角度、面积等都有不同的测量方法和结果。

那么在球面上,圆周率又是多少呢?答案是没有一个确定的值。因为在球面上,圆周率取决于圆的大小。如果我们画一个很小的圆,那么它看起来就像平面上的圆一样,其周长与直径之比接近于 3.14…;但如果我们画一个很大的圆(接近于半个球面),那么它看起来就像一条直线一样,其周长与直径之比接近于 1。

更一般地说,在任何非欧几里得空间中,如果我们画一个很小的圆,那么它看起来就像平面上的圆一样,其周长与直径之比接近于 π;但如果我们画一个很大的圆,那么它看起来就不像平面上的圆一样,其周长与直径之比就会偏离 π。

那么,在非欧几里得空间中,圆周率是如何计算的呢?一种方法是使用所谓的高斯-博内定理。这个定理告诉我们,在任何曲面上,一个小区域的高斯曲率与该区域内三角形内角和与 180 度之差成正比。换句话说,如果我们在一个曲面上画一个小圆,并在圆内划分若干个三角形,那么这些三角形内角和与 180 度之差就可以反映出这个圆周率与 π 之差。

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责任编辑:白鸽